Algebra by Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

By Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die ber?hmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Aufl?sung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausf?hrlich erl?utert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.
Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Beginning and Intermediate Algebra, 3rd Edition

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Satz 7. Es sei Rein Hauptidealring. Dann lafJt sich jedes a E R- (R* U {O}) als Produkt von Primelementen schreiben. 2 Beweis. Man fixiere ein Element a E R - (R* U {O} ). 1st a irreduzibel (und damit prim), so ist nichts i\U ileigen. Anderenfalls zerlege man a in das Produkt bc zweier Nichteinheiten aus R. Diese Konstruktion kann man dann fiir b sowie c wiederholen usw. Zum Beweis des Satzes ist lediglich zu zeigen, daB das Verfahren nach endlich vielen Schritten abbricht. Fur die uns interessierenden Ringe Z und K [X], wobei K ein Karper sei, ist dies unmittelbar klar.

Bewe'is. Es sci 5: R-{O} ----+ N die Gradabbildung von R. Nach Definition del' Folgc Zo, Zl, ... hat man fUr i > 0 unter der Bedingung Zi i= 0 cine Gleichung der Form 52 2. Ringe und Polynome wobei J(Zi+l) < J(Zi) oder Zi+l = 0 gilt. Die Folge der Grade J(Zi) ist daher fUr i > 0 streng monoton fallend, jedenfalls solange Zi =I- 0 gilt und J(Zi) erkHirt ist. Somit kann Zi =I- 0 aber nur fUr endlich viele i E N gelten, und es gibt einen kleinsten Index n E N mit zn+1 = O. Wegen Zo =I- 0 =I- Zl ist n > O.

Dabei verlangt man, daB Rein Monoid bezuglich der Multiplikation ist und daB Addition und Multiplikation im Sinne der Distributivgesetze miteinander vertraglich sind. 1. Bilden die von Null verschiedenen Elemente eines Ringes sogar eine (abelsche) Gruppe bezuglich der Multiplikation, so handelt es sich um einen Korper. Die Definition eines Rings geht dem Sinne Bach auf R. Dedekind zuruck. Bei Dedekind waren Ringe zahlentheoretisch motiviert durch das Rechnen mit ganzen Zahlen in algebraischen Zahlkorpern, also durch das Studium algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.

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