Algebra [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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Beginning and Intermediate Algebra, 3rd Edition

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2. Adjunktion von Nullstellen. 3 haben wir unter K(α) den von α ∈ L erzeugten Zwischenkörper von L/K verstanden. Nun adjungieren wir α als Nullstelle eines irreduziblen Polynoms (das wird sein Minimalpolynom sein) formal zu K hinzu. Formal bedeutet hierbei, daß es in der Konstruktion keinen a priori gegebenen alles enthaltenen Körper gibt. 2. Sei f ∈ K[T ] ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es eine Körpererweiterung L/K in dem f eine Nullstelle hat. Beweis. Indem wir uns auf einen irreduziblen Faktor von f beschränken, dürfen wir annehmen, daß f selbst irreduzibel ist.

Sei R ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K. Sei f ∈ R[T ] ein Polynom, das sich in R[T ] nicht als Produkt nichtkonstanter Polynome schreiben läßt. Dann ist f auch in K[T ] irreduzibel. Beweis. Sei f = gh mit g, h ∈ K[T ]. Dann setzen wir G = c(g)−1 g und H = c(h)−1 h und finden G, H ∈ R[T ] per Definition des Inhalts. 19 gilt dann die Zerlegung f = c(f )GH 5Das Eisensteinkriterium führt zu total verzweigten Erweiterungen. Die gegebene Erweiterung hat Z/2Z × Z/2Z als Galoisgruppe und √ kann somit nur bei p = 2 total verzweigt sein.

Charaktere. 18. Da wir diesen Satz aber nur für die multiplikative Gruppe eines Körpers anwenden, darf man über dieses Maß an Allgemeinheit im ersten Anlauf getrost hinwegsehen. 15. Eine Halbgruppe ist eine Menge P mit einer Verknüpfung P × P → P, die assoziativ ist. 16. (1) N = {1, 2, 3, . } ist mit Addition eine Halbgruppe. (2) N ist mit der Multiplikation eine Halbgruppe. (3) N0 = {0, 1, 2, 3, . } auch. Hat sogar ein neutrales Element. (4) Jede Gruppe ist eine Halbgruppe. (5) Sei R ein Ring.

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