# Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

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Zeigen Sie, dass dann und nur 1 dann 0 |f (x) − g(x)|dx = 0, wenn f = g auf [0, 1]. Gilt dies auch, wenn 1 1 |f (x) − g(x)|dx durch 0 (f (x) − g(x))dx ersetzt wird? 0 28 Eigenschaften von Integralen Zweifellos ist die Entwicklung der Mathematik in all ihren Zweigen urspr¨ unglich von praktischen Bed¨ urfnissen und von Beobachtungen realer Dinge angeregt worden, selbst wenn dieser Zusammenhang im Unterricht und in der spezialisierten Forschung vergessen wird. Aber einmal begonnen unter dem Druck notwendiger Anwendungen, gewinnt eine mathematische Entwicklung ihren eigenen Schwung, der meistens weit u utzlichkeit hinaus¨ ber die Grenzen unmittelbarer N¨ reicht.

Genauer formuliert, so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f (b) ≥ f (a), wenn f (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Sind außerdem x1 ≤ x2 in [a, b], dann gilt f (x1 ) ≤ f (x2 ). Eine Funktion mit dieser Eigenschaft wird monoton ansteigend auf [a, b] genannt. Ist sogar f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b), dann gilt f (x1 ) < f (x2 ) f¨ ur x1 < x2 in [a, b] (strenge Ungleichungen) und wir nennen f (x) streng monoton steigend im Intervall [a, b]. Entsprechende Aussagen gelten f¨ ur f (x) ≤ 0 und f (x) < 0 und wir nennen die Funktionen dann monoton fallend und streng monoton fallend.

Dazu interpretieren wir zun¨ achst die N¨ aherung U n (¯ x) von u(¯ x) als Fl¨ache. Wir wiederholen aus den vorherigen Abschnitten, dass j U n (xnj ) = f (xni−1 )hn , i=1 mit xnj = x ¯. Nun k¨ onnen wir f (xni−1 )hn als die Fl¨ache eines Rechtecks mit Grundseite hn und H¨ ohe f (xni−1 ) betrachten, vgl. Abb. 7. Somit k¨ onnen wir die Summe j f (xni−1 )hn i=1 y = f (x) Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 n xn i−1 xi xn j Abb. 7. Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn eines Rechtecks 474 27. Das Integral y = f (x) Fl¨ ache j i=1 f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 Abb.