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2 du th. 1) il existe une application b + h6 de B dans la boule unité de c3TC1(T), scalairement v-mesurable (pour la topologie et telle que, pour toute fonction f E T1(v), on ait o(JTL1(T),,7;(T)) 7 - ce qui s'écrit encore, pour toute fonction g X(T) Si f 2 O et g 2 O, le premier membre de (3) est > O, ce qui prouve que pour toute fonction g 2 O de JL(T), la mesure (lg(t)dhb(t)'). est 2 0, donc que / g(t)dhb(t) > O sauf lorsque b j' appartient à un ensemble v-négligeable N(g) (chap. V, 5 5, n o 4, cor.

M-intégrable) de T dans F, u o f est essentiellenienl rn-intégrable (resp. nt-irit(igrab1e) et on a j '(ri 0f)cii)t = Il(j'fdl>L); cela r ( i s u l t ~aussitijt tle ce qui préctxic e t de Itr propositioi~aiialogue pour les fonctions essenliellenient 1 m 1-iiitégrables (cliap. IV, $ 4, rio 2, t h . 1 et ctiap. V, $ 2. no 2, Soient m une mesure coinplcxe sur T e t h une f ~ n ( ; t i ocorni~ plexe localement in-intégrable. Pour t o u t e fonction f E X c ( ' ï ) , la S fonction l h est m-intégrable et l'application f + fhdm est rine mesure complexe notée h .

Cornrne 1 g 63 g' / = 1 localement presque partout polir 1 m 1 @ 1 m' 1 (cliap. V, $ 8, n o 2, cor. 8 de la prop. 5), on a I m @ r n l l = / m l @ l m r 1 . Le lecteur vérifiera aisément que toutes les propositions démontrées ail chap. V relativement à l'image d ' m e mesure positive, à la mesure induite par une mesiire positive ou au produit de mesures positives, à l'exception de celles oii interviennent des intégrales supérieures ou des intégrales supérieures essentielles, restent valables lorsqu'on remplace les mesures positives par des mesures complexes quelconques.