Comment résoudre les problèmes de géométrie élémentaire. by Javelot R.

By Javelot R.

Desk des matières :

Préliminaires
    I. — Problèmes usuels
    II. — Conseils
        a) Égalités d’angles
        b) Égalités de longueur
        c) Droites orthogonales
        d) Droites et plans perpendiculaires
        e) Droites parallèles
        f) Droites et plans parallèles
        g) Plans parallèles entre eux
        h) Plans perpendiculaires
        i) Droite et cercle tangents
        j) Sphère et plan tangents
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre

Chap. I. — issues en ligne droite. — issues dans un même plan
    I. — issues en ligne droite
        Applications
    II. — issues dans un même plan
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

Chap. II. — Droites concourantes, cercles concourants. — Plans passant par une même droite. — Droite dans un même plan
    I. — Droites concourantes, cercles concourants
    II. — Manières de prouver que des plans passent par une même droite
    III. — Manière de prouver que des droites sont dans un même plan
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

Chap. III. — issues sur un même cercle. issues sur une même sphère
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

Chap. IV. — Lieux géométriques
    Définition et généralités, conseils
    Applications
    Inversion
    Inversieurs de Peaucellier, Hart, Perrolaz, etc.
    De l’inversion comme moyen de recherche
    Lieux géométriques échappant en partie aux règles ci-dessus
        I. — Plan perpendiculaire à los angeles perpendiculaire commune de deux droites en son milieu
        II. — Problème de Lahire
        III. — Parallélogramme de Klérity
        IV. — Parallélogramme d’Ewans
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

Chap. V. — Des buildings de figures
    Généralités
    Méthode de substitution
    Méthode par intersection de lieux géométriques ou méthode par délaissement
    Méthode de réalisation
    Méthode des dilatations spéciale aux cercles
    Méthode des cercles ou des sphères de rayon nul
    Méthode des figures semblables
    Méthode des enveloppes
    Méthode par groupement particulier des éléments de los angeles figure
    Méthode par symétrie
    Méthode par homothétie
    Méthode par inversion
    Constructions échappant aux méthodes précédentes
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

Chap. VI. — De l’exactitude ; exemples

Chap. VII. — kin métriques
    I. — Démonstration des égalités de l. a. forme : A × B = C × D; A × B = C²
    II. — Calcul d’une grandeur en fonction d’autres
    III. — Démonstration de l’égalité de deux grandeurs
    IV. — Méthode des aires
    V. — Méthode des volumes
    VI. — family métriques diverses
    Exercices proposés avec symptoms pour les résoudre
    Exercices proposés

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San Francisco 1967 Holden-Day. eightvo. , 288pp. , index, hardcover. high quality in VG DJ, a couple of small closed tears.

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Example text

Since h is local, h−1 (0) = F . This proves the first statement. It is clear that S ⊥ is a face of H(Q) if S is any subset of Q and that T ⊥ is a face of Q if T is any subset of H(Q). Furthermore, S2⊥ ⊆ S1⊥ if S1 ⊆ S2 , and S ⊆ (S ⊥ )⊥ . The only nontrivial thing to prove is that F = (F ⊥ )⊥ if F is a face of Q. But this follows immediately from the existence of an h with F = h−1 (0). 5 If Q is fine, then Qsat is again fine. In fact, the action of Q on Qsat defined by the homomorphism Q → Qsat makes Qsat a finitely generated Q-set.

This proves that every exact submonoid of a fine sharp monoid is finitely generated. Slightly more generally, if M is an exact submonoid of any fine monoid N , we can choose a surjection Nr → N , and the inverse image M of M in Nr is an exact submonoid of Nr . It follows that M is finitely generated, and hence so is M . Suppose now that M is an exact submonoid of a saturated monoid N and x ∈ M gp with nx ∈ M for some n ∈ Z+ . Then x ∈ N ∩ M gp = M , so M is also saturated. This proves (2). Let F be a face of an integral monoid M , let x and y be elements of F , and suppose z := x − y ∈ M .

Let P be the submonoid of Q generated by S. Then P is still sharp and the induction hypothesis implies that there exists a local homomorphism h: P → N. Then h induces a homomorphism P gp → Z which we denote again by h. Replacing h by nh for a suitable n ∈ Z+ , we may assume that h extends to a homomorphism Qgp → Z we which still denote by h. If h(t) > 0 there is nothing more to prove. If h(t) = 0, choose any h : Qgp → Z such that h (t) > 0. Then if n is a sufficiently large natural number, nh(s) + h (s) > 0 for all s ∈ S and h (t) > 0, so nh + h ∈ H(Q) and is local.

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