Differentialgeometrie: Kurven - Flaechen - by Wolfgang Kühnel

By Wolfgang Kühnel

Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was once durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. Im Laufe der Neuauflagen wurde der textual content erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der textual content wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.

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San Francisco 1967 Holden-Day. octavo. , 288pp. , index, hardcover. high quality in VG DJ, a number of small closed tears.

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Da jede Ebene im wesentlichen eindeutig durch die Richtung der zu ihr senkrechten Geraden bestimmt wird (vgl. die Hessesche Normalform {X | X, V = c} einer Ebene mit einem konstanten Einheitsvektor V und einer re¨ ellen Konstanten c), k¨onnen wir stattdessen auch die Anderung des Einheitsnormalenvektors studieren. Dies soll im folgenden durch die Gauß-Abbildung sowie deren Ableitung geschehen. Es soll S 2 stets die Einheits-Sph¨are S 2 = {(x, y, z) ∈ IR3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} mit einem festen Zentrum bezeichnen, das unabh¨ angig von f ist.

Man zeige: Det(c′ , c′′ , . . , c(n) ) = n−1 n−i . i=1 (κi ) 24. Man konstruiere eine nicht-ebene C ∞ -Kurve im IR3 , die – mit Ausnahme eines einzigen Punktes – eine Frenet–Kurve ist und ansonsten τ ≡ 0 erf¨ ullt. 25. Eine Frenet–Kurve im IR3 heißt Bertrand-Kurve, falls es eine zweite Kurve so gibt, daß die Hauptnormalen der beiden Kurven (in einander entsprechenden Fußpunkten) dieselbe Gerade im Raum aufspannen. Man spricht dann auch von einem Bertrandschen Kurvenpaar. Eine ebene Kurve ist (jedenfalls lokal) immer eine BertrandKurve.

1: Parametrisiertes Fl¨achenst¨ uck mit Koordinatennetz Dabei wird der Parameter (u, v) abgebildet auf den Punkt (x, y, z). Die Eigenschaft von ∂f f = f (u, v), eine Immersion zu sein, ist ¨aquivalent dazu, daß die Vektoren ∂f ∂u und ∂v in jedem Punkt linear unabh¨angig sind. Sie spannen dann die Tangentialebene auf. Als orthogonales Komplement ergibt sich dann der (1-dimensionale) Normalenraum. Als Bezeichnungsweisen verwenden wir im folgenden f¨ ur f : U → IR3 , u ∈ U, p = f (u): Tu U Tp IR3 Tu f ⊥u f sei sei sei sei Tu U = {u} × IR2 , Tp IR3 = {p} × IR3 , Tu f := Df |u (Tu U ) ⊂ Tf (u) IR3 , Tu f ⊕ ⊥u f = Tf (u) IR3 .

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