Plane Geometry and its Groups by Heinrich W. Guggenheimer

By Heinrich W. Guggenheimer

San Francisco 1967 Holden-Day. 8vo., 288pp., index, hardcover. superb in VG DJ, a number of small closed tears.

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Plane Geometry and its Groups

San Francisco 1967 Holden-Day. eightvo. , 288pp. , index, hardcover. nice in VG DJ, a couple of small closed tears.

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2 hat dann gezeigt, dass ein Wechsel von einer Basis zur anderen durch eine projektive Transformation (Matrixmultiplikation) beschreibbar ist. 7, dass das Doppelverh¨altnis nur von der Wahl der vier Punkte und nicht von deren konkreten Koordinatendarstellung abh¨angt. Zudem ist das Doppelverh¨ altnis invariant unter beliebigen projektiven Transformationen auf der Geraden. Insgesamt heißt dies, dass das Doppelverh¨altnis mit der Geometrie auf der reellen projektiven Geraden und deren Transformationen vertr¨aglich ist.

Der vollkommen symmetrische Aufbau der algebraischen Strukturen von Punkten und Geraden gestattet es uns folgendes Metatheorem zu formulieren. 1. Es sei A eine beweisbare Aussage in RP2 , die neben den Begriffen (und Operationen) Punkt, Gerade, Inzidenz, Join, Meet, Kollinearit¨at, Konkurrenz, projektive Transformation, nur noch logische Verkn¨ upfung und aussagenlogische Quantoren (“f¨ ur alle” und “es existiert”) verwendet, so kann aus dieser Aussage eine neue beweisbare Aussage gewonnen werden, indem man nach folgendem Schema systematisch Begriffe vertauscht.

In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c sei ein beliebiger Punkt A auf b gegeben. Die Parallele zu a durch A schneidet c in einem Punkt B (siehe Abbildung), die Parallele zu b durch B schneidet a in einem Punkt C, usw. bis Punkt G. S R E F c a B Beweisen Sie, dass die Punkte A und G immer aufeinander liegen. Was hat das mit dem Satz von Pappos zu tun? C A=G b D 4 Projektive Geometrie auf Geraden Bisher haben wir uns ausschließlich mit den Verh¨altnissen in der projektiven Ebene RP2 und deren Darstellung in homogenen Koordinaten besch¨aftigt.

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